Econometría II: ETS

Departamento de Economía

Carlos A. Yanes G.

2023-09-20

Paquetes con que se trabaja la sesión

Los paquetes que vamos a utilizar en la sesión de hoy son:

Note

Para trabajar en esta ocasión vamos a usar los paquetes de :

library(pacman)
p_load(readxl, TSstudio, tidyverse, stats, urca, forecast, ggfortify, ggplot2, tseries, fpp2))

Preambulo

ETS

  • Regresamos por un momento a los modelos de suavizado exponencial.

  • Miramos entonces la aplicación de los modelos de tipo espacio- estado

  • Son modelos que terminan siendo una combinación entre paramétricos y aquellos que no lo son, es algo como un método tipo (“fusión”).

  • Mas allá de los auto.arima, son algoritmos que también minimizan la composición del RMSE de cada modelo que se estima y combina

Concepto técnico

Note

La familia de modelos ETS se definen como métodos y parámetros para los componentes (error, tendencia y estacionalidad) en una serie de tiempo, por eso se les conoce como ETS. Si se especifica más de un método dentro de la función, ETS considerará todas las combinaciones de los modelos especificados y seleccionará el modelo que mejor se ajuste a los datos (minimizando AICc).

Especificación

Tabla de Componentes
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (N,N) (N,A) (N,M)
A (A,N) (A,A) (A,M)
\(A_d\) (\(A_d\),N) (\(A_d\),A) (\(A_d\),M)

Significado

  • (N, N): Hace referencia a un modelo de suavizado simple
  • (A, N): Referencia a un modelo Holt winters lineal
  • (\(A_d\), N): Referencia a un modelo de tendencia armónica
  • (A, A): Referencia a un modelo Holt winters aditivo
  • (A, M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo
  • (\(A_d\), M): Referencia a un modelo Holt winters multiplicativo armónico

Especificación

  • Cada modelo tiene una ecuación o parte que se observa y también una parte que denominaremos transición, una para cada estado de (nivel, tendencia, y parte estacional), es decir, modelos en conformidad de espacio de estado.

  • Para este propósito vamos a suponer que tenemos dos modelos para cada método: uno con errores aditivos y otro con errores multiplicativos, es decir, en total mas o menos en conformidad da unos 18 modelos.

    • ETS(Error,Tendencia,Estacional):
      • Error \(=\{A,M\}\)
      • Tendencia \(=\{N,A,A_d\}\)
      • Estacional \(=\{N,A,M\}\).

Modelo ETS y SS (Space-State)

Métodos de suavizado exponencial: Los algoritmos devuelven previsiones puntuales.

Modelos Espacio-Estado:

  • Generan las mismas previsiones puntuales pero también pueden generar intervalos de previsión.
  • Un proceso estocástico (o aleatorio) de generación de datos que puede generar una distribución de previsión completa.
  • Permiten una selección “adecuada” del modelo.

Grupo de modelos aditivos

Tabla de Componentes Aditivos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (A,N,N) (A,N,A) (A,N,M)
A (A,A,N) (A,A,A) (A,A,M)
\(A_d\) (A,\(A_d\),N) (A,\(A_d\),A) (A,\(A_d\),M)

Grupo de modelos multiplicativos

Tabla de Componentes Multiplicativos
Ninguno Aditivo Multiplicativo
N (M,N,N) (M,N,A) (M,N,M)
A (M,A,N) (M,A,A) (M,A,M)
\(A_d\) (M,\(A_d\),N) (M,\(A_d\),A) (M,\(A_d\),M)

Aplicando a los ETS lo SS

  • (A,N,N): Simple exponential smoothing con errores aditivos
  • (A,A,N): Método lineal de Holt Winters con errores aditivos
  • (M,A,M): Multiplicativo de Holt-Winters con errores multiplicativos

Aplicando a los ETS lo SS

Predicción

Este método incorpora la especificación mas sencilla y nos dice que:

\(Y_{t+h|t}=F_{t}\) que conoceremos como ecuación de pronostico.

\[F_t=\alpha y_t+ (1-\alpha)F_{t-1}\] Tenemos un error de pronostico y es:

\[e_t=y_t- y_{t|t-1}=y_t - F_{t-1}\] Y planteamos la corrección:

\[\begin{aligned} y_t&=F_{t-1}+ e_t\\ F_t&=F_{t-1}+ \alpha(y_t- F_{t-1})\\ &=F_{t-1}+ \alpha e_t \end{aligned}\]

Un ejemplo de ETS(A,N,N)

Ecuación de medida \(y_t=F_{t-1}+\epsilon_t\) Ecuación de estado \(F_t=F_{t-1}+ \alpha \epsilon_t\)

Donde \(\epsilon_t\sim (0, \sigma^2)\)

  • La innovación o simple fuerza del error
  • La ecuación de medida contiene la relación entre observaciones y estado
  • Hay que tener presente la ecuación de transición

Nuevamente lo práctico

Datos

Cartera comercial de bancos

ETS un paso a la vez

Code 
ets(cartera)
ETS(M,A,N) 

Call:
 ets(y = cartera) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.2908 

  Initial states:
    l = 368019.5713 
    b = 2436.7326 

  sigma:  0.0072

     AIC     AICc      BIC 
1828.712 1829.443 1841.098

Qué significa lo anterior

  • Un modelo Holt-Winters con errores multiplicativos.
  • Asuma por ende que \(\frac{y_t-(F_{t-1}+b_{t-1})}{(F_{t-1}-b_{t-1})}\)
  • La ecuación entonces es: \[\begin{aligned} y_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ e_t)\\ F_t&=(F_{t-1}+b_{t-1})(1+ \alpha e_t)\\ b_t&=b_{t-1}+ \beta (F_{t-1}+b_{t-1})e_t \end{aligned}\]
  • Donde los parámetros \(\beta=\alpha \beta\) y \(e_t\sim (0, \sigma^2)\)
  • La ecuacion de AICc viene dada por: \[AICc= AIC+ \frac{2(k+1)(k+2)}{T-k}\]

Estimación manual

Code 
ets(cartera, model="AAA", damped=FALSE)
ETS(A,A,A) 

Call:
 ets(y = cartera, model = "AAA", damped = FALSE) 

  Smoothing parameters:
    alpha = 0.9999 
    beta  = 0.134 
    gamma = 1e-04 

  Initial states:
    l = 369682.2186 
    b = 1964.1482 
    s = -41.7029 987.8666 414.9163 437.8564 38.1819 935.9177
           2438.587 1687.61 906.6504 170.7295 -2887.577 -5089.036

  sigma:  3294.709

     AIC     AICc      BIC 
1835.959 1844.702 1878.074

Mirando ajuste

Code 
cartera %>% ets() %>% accuracy()
                   ME     RMSE      MAE         MPE      MAPE       MASE
Training set 3.161877 3404.273 2412.648 0.006306931 0.5082396 0.06374414
                 ACF1
Training set 0.119603
Code 
cartera %>% ets(model="AAA", damped=FALSE) %>% accuracy()
                   ME     RMSE     MAE        MPE      MAPE       MASE
Training set 179.9022 2980.176 2138.64 0.04015126 0.4371295 0.05650461
                  ACF1
Training set 0.4481497

Miremos los componentes

Code 
cartera %>% ets() %>% autoplot

Ahora el Pronostico

Code 
cartera %>% ets() %>% forecast() %>% autoplot

Gracias por su atención!!

Universidad del Norte